Ročenka 2015: Postup pro úlohu L8

Značení

Značení (x,y) znamená políčko v řádku x (počítáno shora) na pozici y zleva.

Značení (x,y)=z znamená, že do políčka (x,y) doplníme hodnotu z.

Šedými písmeny S a L budeme značit paritu čísel (sudá/lichá).

Zeleně pak budou označená čísla, která byla přidána v posledním kroku.

Postup řešení

Začneme tím, že si doplníme na třetím řádku pod 6 vlevo jednoznačnou 1 a označíme si paritu obou krajních polí v 7.řádku.   

Nyní se podíváme na paritu ostatních čísel na spodním řádku.

Paritu nějakého čísla můžeme spočítat z čísel, která se nacházejí pod ním s pomocí binomického rozvoje. Pokud by se všechny dvojice směrem nahoru sčítaly, platily by vzorce uvedené níže. Při odečítání se vzorce mění, nicméně parita výsledku je při sčítání i odečítání stejná a proto můžeme vzorec použít i zde. Jediné, co nás zajímá je zda vyjde sudá nebo lichá.

Máme-li například b1 sudé, b2 liché a b3 liché, pak paritu x spočítáme podle druhého vzorce jako:

S + 2*L + L = S + S*L + L = S + S + L = L

Nejprve se podívejme na prvních 5 čísel spodní řady, která dávají výsledek 1. Podle 4.vzorce závisí parita výsledku jen na dvou krajních číslech. Levé krajní číslo je liché, výsledek také, takže pravé krajní číslo je sudé. 

A teď se podíváme na 4 čísla pod číslem 3. Podle 3. vzorce zjistíme, že ke dvěma lichým číslům a právě přidanému sudému je třeba přidat další liché, abychom dostali lichý výsledek 3. Na prostřední pozici poslední řádky je tedy liché číslo a poslední prázdné pole musí být sudé, aby souhlasil počet sudých a lichých čísel mezi 1-7.

Následně můžeme doplnit paritu u všech čísel v pyramidě

Můžeme doplnit obě sudá čísla v 7.řádku, protože 6 nemůže být vlevo kvůli opakování čísla 4 na 6.řádku. Pak můžeme doplnit (6,5)=7 (5 nelze kvůli opakování), (4,5)=3 a také (4,4)=6. Pak jdeme zase dolů a doplníme (6,4)=1. A zjistíme, že v 6. řádku nám zbylo poslední liché číslo, takže (6,3)=3.

Teď už můžeme jednoznačně určit zbývající lichá čísla v 7. řádku. Uprostřed 7, vlevo pak 3 a vpravo 5.

Nyní se podíváme na poslední liché číslo ve 3.řádku. Mohou tam být čísla 3 nebo 5. Volba 3 ale není možná, pod ní bychom dostali vlevo číslo 6 a to nemůže stát nad další 6 v pátém řádku. Doplníme tedy ve 3. řádku číslo 5 a zbylá čísla směrem nahoru i dolů už vyplníme bez větších potíží.